1、在固收语境里，利率、收益率、贴现率，三者可以互相替代。收益率就是利率，也是贴现率，反之亦然。离开固收，这个替代关系不成立。
2、贴现是计息的逆过程。把较晚时点的现金、资产等价值物的价格折算到较早时点，称为贴现，不局限于折算到今天。去年折算到前年、明年折算到今年、后年折算到明年，都是贴现。贴现的英文是discount，所以我们一直认为把贴现翻译成‘折算’更合理。
3、债券到期收益率：假设投资者买入一只债券并能顺利持有到期的年化收益率，就是债券的到期收益率（Yield To Maturity，以下简称YTM）
这是一个基于如下假设条件的收益率：
- 发行人按时按量支付本息至债券到期。
- 持有人生存并持有债券至到期。
- 年化，而不是半年度化、季度化。年化的本质是平均，也就是把各年的收益率都平均成一个均值。
- 对于债券定价，一年以上通常是复利贴现，一年及以下通常是单利贴现（衍生品另议），因为年化复利的意思就是计息间隔为年，年以下无复利只有单利。
- 持有人将收到的每一期票息，都能按照YTM的复利再投资直至到期。
买债券就是用今天的现金流支出换未来的一系列现金流收入，所以定价的思路就是‘未来现金流今天值多少钱’，即贴现。
面值×票息率=每期票息金额。固息债的票息率不变，浮息债现在无法确定每期票息率，每次付息前一段时间（如提前1天、5天等）再确定下期票息。
前文提到，既然买债券是现在的现金流支出换未来现金流收入，那么其收益率也就可以类似看成付出资金的回报利率了，这也是为什么固收语境下，收益率就是利率。所以，如果你在研报、新闻里看到“XX债券的利率”，通常是指它的YTM，而不是票息率。只有明确提到票面利率、票息（率）、息票（率）、Coupon (Rate)时，才是指票面利率。这在英文固收语境里没有歧义，到期收益率会写清楚是Yield To Maturity, Yield, Redemption Yield（英国人喜欢这么说）, Book Yield。票息率会写清楚是Coupon Rate。中文的‘债券利率’容易有误会或歧义，注意辨析。
4、首先要用业务逻辑理解业务，其次才是数学逻辑
由于YTM在定价公式的分母，分子是固定的票息和本金，那么YTM越高，债券价格必然越低。所以债券的收益率与价格是反向的。这种方向关系和其它所有资产都不同。任何其它资产，股票、房地产等，一定是价格越涨（跌），收益率越高（低），二者同向变化。唯独债券的价格与收益率是反向关系。如果你把一张普通固息债的价格与收益率作图，则能明显看到二者的反向关系而不是正向关系。
但如果想要彻底理解“债券价格与收益率反向变化”这一点，不要用数学的“分母越大分子不变则商越小”来说服自己、也不要用这张图来说服自己。小学生也看得懂分数、看得懂图，只理解数学逻辑不是真理解，用业务逻辑说服自己才是真理解。
这个反向关系的业务逻辑就是：因为债券的现金流收入是提前约定的，好比一块饼的大小已经固定了，成本就是100元。那么你用90元买它，和用10元买它，哪个收益率高？当然是10元。所以，因为收入确定，所以成本价格越低，收益率越高，反之亦然。所以用不严谨但是易于理解的方式来说，债券是‘先收益后成本’，即先确定了收益，再去算成本。而其它资产是‘先成本后收益’，比如现定了500万成本买这套房，看以后涨跌到多少再算收益率。这也是为什么债券的收益率下行（收益率通常不说上涨下跌，而说上行下行），使得债券价格上涨，我们称为债券牛市，反之亦然。
所以我们强调，数学只是工具，业务才是目的。归根结底，金融是社会科学，不是自然科学。不管使用的计算工具再怎么复杂高深，也不是我们研究的目的本身，我们的目的是研究金融这种人的社会行为，所以一定要能从业务本身理解，而非局限于计算逻辑。
债券定价公式里，面值、票息都是已知的，收益率是未知的、是自变量，价格是也是未知的、是因变量。所以债券价格的定价公式表达的是“债券价格是收益率的函数”，即债券价格随着收益率的变化而变化，反之亦然。
综上所述，完整严谨地说，债券的到期收益率YTM是假设双方平安无事到期年化平均复利回报率。
5、YTM与实际持有期回报率
不要把YTM和实际持有期回报率混为一谈。YTM是假设的某一时点直至持有到期能实现的年化收益率，是一个假设收益率。实际持有期回报率是指这只债买入卖出期间的实际回报率。如果持有人在到期前将债券卖出，那么从买入到卖出的期间回报率，须根据年化后的买卖价差进行计算，得到期间的年化复利回报率。如果债券持有人真的顺利持有至到期了、并且将每期票息的投资回报率做到了YTM，那么YTM才等于实际持有期回报率。
久期
黑鸡的加权平均时间是5.5天，黄鸡是8.2632天，黑鸡还是赢了。
黄鸡要怎么赢呢？把大蛋下到第一天，平均每个蛋就是4.9517天，就能赢。
这种加权平均的思维方式，就是麦氏久期，是一个加拿大经济学家麦考利发明的，它衡量的是一只债券每笔现金流的加权平均回本时间（注意是平均而不是加总）。债券的每期现金流就好比每个鸡蛋。
注意：
- 麦氏久期是每笔现金流的回本平均时间，不是总时间，即债券的加权平均剩余期限。
- 麦氏久期是有单位的，一般是年。我们平时说的拉长久期、缩短久期，都是说的麦氏久期。
- 随着债券价格、收益率的波动、剩余期限的逐日缩短，麦氏久期也会随之变化。价格、收益率变化一次，久期就马上跟随变化。
我们还可以用物理模型来解释麦氏久期：如果现金流换成砝码，时间轴换成天平（注意忽略天平横杠本身的重量，只考虑砝码重量），那么麦氏久期就是能使天平平衡时，左端到支点的长度。如下图：
如果其他条件不变，票息变大，支点必须左移，那么麦氏久期越短。
如果期限增加，麦氏久期越长。
对于无息债，因为两边都没有砝码，所以麦氏久期就等于其期限。反过来说，一个麦氏久期为2.9125的多笔现金流债券，平均回本时间就相当于一只2.9125年的零息债。
这个解释不仅在物理上是直观的，在数学上也是精确的。如下图，用贴现后的现值作为砝码重量计算天平两边的力矩，刚好相等。
现金流越早，回本时间越短。现金流越大，回本也越短。所以，投资者用麦氏久期来衡量债券风险高低时，就是现金流早比晚好、大比小好。
在其它资产中，也有类似的回本时间的概念，比如股票的市盈率、房地产的租售比。股票静态市盈率衡量的是股价等于多少倍的年度盈利，也就是投资者靠盈利回报能多少年收回买股票的成本。房屋租售比是月租金比房价，那么租售比乘以12之后求倒数，就是靠租金需要多少年回本。当然，严格来说，股票市盈率不能算现金型回本指标，因为盈利并不一定都分给股东，这里只是供大家拓宽思路，跳出固收看固收。
修正久期
麦氏久期仅仅是个回本平均时间指标，它并没有揭示除此之外的任何其它特征。如果债券价格波动，如何度量它的风险呢？之前我们说过，债券的价格公式是价格与收益率的函数。收益率动，价格就动。于是经济学家们开始思考：如果债券收益率波动一个单位，债券价格波动多少个单位呢？
把债券价格公式进行一般化，P是债券价格，YTM是收益率，C、F、n是已知的票息、面值、期限。
我们关心的其实就是“自变量x变化一个单位数值，因变量y变化多少百分比”的问题。我们已经有很成熟的方法来解决“x变化一个单位数值时y变化几个单位数值”这个问题，即求导数。对以上公式，求P对YTM的一阶导数：
注意只是算出来了当YTM变化一个微小单位时P变化的数值，我们需要度量的是变化幅度或者说百分比，而不仅仅是数值。所以要将两边同时除以P，然后再提取公因子，得到：
左边红色部分就是债券价格对收益率变化的敏感度。无巧不成书，右边的蓝色部分恰好就是麦氏久期，负号表示的是价格和收益率变化的反向关系。
由于这个数学关系，可以通过麦氏久期进行数学修正而得到，在数值上是修正的麦氏久期，所以债券价格对收益率变化的敏感度被称为修正久期，但其实际业务出发点已经不是回本时间了，尽管数值上是接近麦氏久期的，那也只是一种数学巧合。所以尽管业内都已普遍接受修正久期这个名字，但如果把它更名为价格收益率弹性、敏感度，更名副其实。
一年付息一次的固息债的修正久期，等于麦氏久期除以1+YTM。如果是付息m次的固息债，那么等于麦氏久期除以1+YTM/m。如果m是无穷次，意味着连续付息，那么YTM/m趋向于0，麦氏久期就等于修正久期了。
我们再来看数学的作图解释。从价格收益率曲线上看，修正久期是曲线的一阶导数，即用直线去替代曲线来度量价格对于收益率变化的变化。例如下图，当收益率从y1变化到y1+△y时，曲线从A点下滑到D点，债券价格从A下跌到B，但直接计算AB很不方便，我们用AC去近似AB。AC即修正久期。显然，收益率变化幅度小时，切线和曲线很接近，近似效果较好。当收益率变化很大，则修正久期的近似效果越差，这时就要用到进一步的近似工具：凸性。后续凸性章节将专门介绍。
我们来看看两只不同债券的修正久期差异。假设有两只债券，票息率都是3%，A债期限3年，B债期限10年，债券的价格-收益率曲线如下图：
两只债的价格-收益率曲线在收益率3%处相交。因为票息是3%，当X轴的收益率为3%时，Y轴价格等于面值100。
当两只债的收益率从3%下行1个BP到2.99%时，三年期债的价格上涨到100.028元，而十年期债券价格上涨到100.085，显然十年期债的价格上涨更多。这从二者的曲线上也能看出来。
注意：
- 修正久期与麦氏久期数值接近，拥有类似特点：其它条件不变时，修正久期与期限成正比，与票息、收益率成反比。如果一时回忆不起来了，那就用前面讲过的天平模型去推理。
- 价格与修正久期的快速计算：如果修正久期是X，那么当收益率上行（下行）1个BP时，价格下跌（上涨）约万分之X（即0.0X%）。比如假设十年国债修正久期为8.3，那么收益率下行1个BP时，价格上升约万分之8.3，1000万市值则上涨8300元，反之亦然。这个8300元，即收益率变化1个BP时债券价格变化的金额，称之为PVBP或者DV01。PBVP是Price Value per 1BP的缩写。DV01是Dollar Value per 1BP的简称，因为美元最通用所以形成了国际惯例成为Dollar而已，不用纠结为啥不是RMB。
- 修正久期是个百分比、万分比的幅度概念，只有高低大小，所以没有单位，不可以说修正久期是多少年。
- 当收益率变化幅度大时，修正久期的近似效果越差。
因为期限越长，久期越大。那么当债券牛市来临，如果投资者认为长债、短债的收益率都将下行同样幅度，那么投资者倾向于将持有的债券换成长期限债券，获得更大的久期，这样将获得更高的盈利，类似于高速公路开车就要挂高档。反之，熊市来临，如果投资者认为长债、短债的收益率都将上行同样幅度，那么投资者倾向于将持有的债券换成短期限债券，获得更小的久期，这样将获得更低的亏损，类似于崎岖小路开车就要挂中低档。这就是所谓的“牛市加久期、熊市减久期”。这里说的久期，并不特指麦氏久期或修正久期。不过，今后我们将学习到，这个牛熊市加减久期的口诀并不绝对成立，还要考虑长短端的上下行幅度、收益率的波动率大小等。
期限、久期的关系
期限越长，久期对于收益率变化的敏感度就越高（提示：这种敏感度就是后面我们将讲到的凸性）。请看下表。
收益率从4%上行到10%再到15%，50年国债的久期变化幅度明显大于10年国债。甚至当收益率上行到15%时，50年国债的修正久期比10年国债的还要低！虽然根据历史经验，如此大的收益率变化幅度基本不可能发生，但举这个例子是为了让各位加深印象：久期的实际值和实际变化，需要实事求是地计算，切忌只根据剩余期限的长短而想当然。
凸性
由于久期只能实现对债券的线性（切线）近似，如果想提高近似效果，就要用到凸性来实现二次方近似了，也就是价格对收益率的二阶导数、“久期的久期”：当收益率变化一个单位时，久期的变化幅度。
对于凸性的特点，我们总结为“久期是双刃剑，凸性是心头好”。也就是说，凸性是投资者非常喜欢的一种特点。因为当收益率下行上行相同幅度时，凸性大的债券价格涨得多跌得少。
单从数值上看，虽然凸性的增长比久期要快很多，但是由于其对债券价格的影响是二阶的而不是一阶的，所以对债券价格的影响，久期仍然是一阶的、影响力最大的，凸性是二阶的、影响力其次的。
转
https://mp.weixin.qq.com/s/HQ1KtAj1uMrqxiYGhVgZIw
